עכבה חשמלית Impedance

 

עכבה חשמלית או אימפדנס היא התנגדות חשמלית כוללת. המושג נפוץ במיוחד במשוואות מתמטיות של מעגל חשמלי שבו זורם זרם חילופין. שני הגדלים (עכבה והתנגדות) נמדדים באותן יחידות, האוהם (Ω) במערכת היחידות הבינלאומית.

האימפדנס של רכיב במעגל מוגדר כיחס בין פאזור המתח הנופל על הרכיב לפאזור הזרם העובר דרך הרכיב:

Z_{{\mathrm {R}}}={\frac {V_{{\mathrm {r}}}}{I_{{\mathrm {r}}}}}

אף על פי ש־Z\!\  הוא היחס בין שני פאזורים,Z\!\  עצמו אינו פאזור, כלומרZ\!\  אינו קשור לפונקציה סינוסית כלשהי של הזמן.

במעגלי DC, ההתנגדות מוגדרת על פי חוק אוהם כיחס בין מתח ה־DC הנופל על הנגד לזרם ה־DC דרך הנגד:

R={\frac {V_{{\mathrm {R}}}}{I_{{\mathrm {R}}}}}

כאשר:

I_{{\mathrm {R}}}\!\  הם ערכי ה־DC (ממשיים)

כלומר הגדרת האימפדנס מהווה הכללה של חוק אוהם, כאשר את התנגדות הנגד R\!\  במעגל ה־DC מחליפים באימפדנס שלו Z_{{\mathrm {R}}}\!\  במעגל ה־AC. הכללה זו של חוק אוהם אינה מוגבלת לנגדים, וניתן להשתמש בה גם לקבלים ולסלילים במעגל AC.

חשוב לשים לב כי העכבה (אימפדנס) של הרכיבים היא במישור התדר ולא במישור הזמן, ניתן למצוא בקלות את העכבה של הרכיבים על ידי התמרת לפלס על המשוואה הדיפרנציאלית המתארת את הרכיב.

העכבה של הרכיב היא בעצם פונקציית התמסורת של הרכיב במישור התדר.

ההכפלה במספר המרוכב i (בהנדסה נפוץ הכתיב j כדי לא לבלבל עם זרם) מצביעה על הפרש הפאזה בין המתח לזרם.

עבור נגד:

Z_{{\mathrm {resistor}}}={\frac {V_{{\mathrm {R}}}}{I_{{\mathrm {R}}}}}=R\,

עבור קבל:

{\displaystyle Z_{\mathrm {capacitor} }={\frac {V_{\mathrm {C} }}{I_{\mathrm {C} }}}={\frac {1}{i\omega C}}\ ={\frac {-i}{\omega C}}\,}

הוכחה:

בקבל מתקיים היחס בין הזרם בקבל למתח על פני הקבל {\displaystyle i_{c}=C{\operatorname {d} \!v \over \operatorname {d} \!t}}. כדי למצוא את המתח על פני הקבל כפונקציה של הזמן נקבל {\displaystyle v_{c}(t)={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}i_{c}dt}

כעת נמיר את המשווה למישור התדר נבצע בעזרת התמרת לפלס על שני צידי המשוואה {\displaystyle {\displaystyle {\mathcal {L}}(v_{c}(t))=\displaystyle {\mathcal {L}}({\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}i_{c}dt)}} ונקבל {\displaystyle {\displaystyle V_{c}(S)={{\frac {1}{C}}{\frac {1}{S}}}I_{c}(S)}} כאשר{\displaystyle S} הוא מספר מרוכב

האימפדס של הרכיב הוא פונקציית התמסורת שלו ולכן נחלק את שני צידי המשוואה בזרם ונקבל  {\displaystyle Z_{\mathrm {capacitor} }(\Omega )={\frac {V_{\mathrm {C} }(S)}{I_{\mathrm {C} }(S)}}={\frac {1}{SC}}}

נקודות חשובות:

  1. מכיוון ש {\displaystyle S} הוא מספר מרוכב היינו צריכים לקבל את המשוואה {\displaystyle Z_{\mathrm {capacitor} }(\Omega )={\frac {V_{\mathrm {C} }(S)}{I_{\mathrm {C} }(S)}}={\frac {1}{SC}}={\frac {1}{(\sigma +i\omega )C}}}, כאשר \sigma  מייצג לנו אקספוננט דועך במישור הזמן. אך מכיוון שההנחה היא שניתוח המעגל מדבר על מצב יציב מניחים כי {\displaystyle \sigma =0} ונקבל {\displaystyle Z_{\mathrm {capacitor} }(\Omega )={\frac {V_{\mathrm {C} }(S)}{I_{\mathrm {C} }(S)}}={\frac {1}{i\omega C}}}
  2. חלוקה בi שקולה לכפל בi-, מכאן אנחנו מסיקים שבקבל הזרם מקדים את המתח.
  3. ניתן להסיק ממשוואת העכבה של הקבל שככל שהתדר עולה התנגדות הקבל יורדת.

עבור סליל:

{\displaystyle Z_{\mathrm {inductor} }={\frac {V_{\mathrm {L} }}{I_{\mathrm {L} }}}=i\omega L\,}

ההוכחה עבור סליל דומה להוכחה של קבל.

 

עבור קווי תמסורת במערכות מפולגות מגדירים עכבה אופיינית, שהיא היחס בין משרעת המתח בין שני הדקי קו תמסורת לבין משרעת הזרם הזורם בו באופן מקומי. עכבה אופיינית מאפיינת את מבנה קו התמסורת, ואינה תלויה באורכו. גם גלים אלקטרומגנטיים או גלי קול המתפשטים בתווך ניתן לתאר כמעגל חשמלי, ואז מוגדרת עבור התווך עכבה אופיינית.